连续周期信号的傅里叶分解

1 连续周期信号的傅里叶分解

信号的正交分解 -- 在区间上的任意能量有限信号f（t）可以用正交函数集合 中的函数的线性组合来近似表示：

式中：表示正交函数集中的函数，系数可以利用最小均方误差准则求解：

常用的完备正交函数集：

三角函数集{}

复指数函数集{}

信号在这两个函数集中分解得到的级数叫做傅里叶级数，周期信号进行傅里叶分解应该满足狄利克雷条件：

在一个周期内满足绝对可积

在一个周期内有有限个极大值和极小值

在一个周期内有有限个第一类间断点

三角傅里叶级数设f（t）为一周期为T的周期信号，且满足狄氏条件，则f（t）在区间可分解为：

式中：

T为信号周期，为基波频率（看作整体一项）。

写作余弦形式：

式中：

为偶函数，为奇函数。

指数傅里叶级数设f（t）为一周期为T的周期信号，且满足狄氏条件，则f（t）在区间可分解为：

式中：

指数傅里叶级数中负频率的出现是数学处理的结果。

复振幅表示式中，表示n次谐波分量的复振幅。

2 连续非周期信号的傅里叶变换周期信号的频谱具有离散性，非周期信号的频谱变为连续谱。

非周期信号傅里叶变换存在的充分条件是信号满足绝对可积，即：

正变换：

反变换：

与周期信号相比，中自变量连续取值，而离散取值，且满足：

若信号不满足绝对可积条件，其傅里叶变换就不存在，此时拉普拉斯变换适用，略。

3 周期序列的离散傅里叶级数（DFS）时域的周期造成频域的离散，时域的离散造成频域的周期延拓，因此周期序列的DFS也是离散的周期序列。

周期序列：

式中，r为任意整数，N为周期。DFS正变换：

DFS反变换：

式中，从DFS计算中可以看出，周期序列的DFS也是周期为N的离散序列，周期序列的DFS也具有无限个频率，仅有N个不同幅值。

4 离散傅里叶变换（DFT）长度为N的序列x（n）可以看作：

式中，表示长度为N的单位矩形序列。叫做的主值序列。DFT正变换：

DFT反变换：

从DFT的计算中可以看出，DFT的结果对应DFS一个周期的序列值。