传输线理论：观察反射系数和驻波

通过传输线、方程和示例波形了解射频 （RF） 波的传播和反射。

自然界中各种类型的波基本上表现得相似。就像一个声音，在悬崖上回荡， 电波 当他们遇到变化时进行反思 阻抗 他们旅行的媒介。波反射可以导致一种有趣的现象，称为 驻波.驻波对于大多数乐器产生声音的方式至关重要。例如，如果没有驻波的可预测性和放大效应，弦乐器将无法工作。

然而，在RF设计中，当我们的目标是将功率从一个模块传输到信号链中的下一个模块时，驻波是不可取的。事实上，驻波会影响不同射频和微波系统的性能，从 消声室 到微波炉等日常电器。

虽然波传播和反射的概念并不是非常复杂，但一开始可能有点令人困惑。可视化波如何传播和反射不连续性的最佳方法是绘制不同配置的波动方程。

在本文中，我们将首先推导出所需的方程，并使用它们通过几个示例波形来解释驻波现象。

传输线电压和电流波方程

首先，让我们推导出我们的方程。我知道这很无聊，但它们确实帮助我们理解波是如何传播和相互作用的。 传输线.在本系列的上一篇文章中，我们研究了传输线的正弦稳态响应，并推导出了电压和电流方程。应用 vs（t） = Vscos（ωt） 到一行， 电压和电流 波是：

哪里：

A 和 B 是从线路输入和输出端口的边界条件中找到的常数

Z0 是特性阻抗

相位常数β

这些方程对应于图1（a）所示的配置，其中选择从源到负载的正x轴方向。如果我们用它们的相量表示这些波，则正行（或入射）波和后行进（或反射）电压波将分别为 Ae-jβx 和成为jβx，如图1（a）所示。

图1. 显示正轴方向的图表是从源到荷载 （a），然后从荷载到源 （b）。

关于传输线问题，通常选择从负载到源的正轴方向更为方便，如图1（b）所示。为了找到新的方程，我们需要用l-d替换原始方程中的x。如新变量 d 所示，前行波变为：

其中 A1 = Ae-jβl 是一个新常量。从这里，您可以验证在新坐标系中反射波是否为 B1e-jβd，其中 B1 = 是JΒL.因此，总电压和电流相量如公式1和2所示。

等式 1.

等式 2.

这些方程可以更轻松地检查载荷对波反射的影响，因为在这种情况下，载荷在d = 0，从而简化了方程。设d = 0，在负载端得到以下方程，如公式3和4所示。

等式 3.

等式 4.

例如，让我们考虑线路在开路中终止的情况。输出开路时（ZL =∞），输出电流明显为零。从公式 4 中，我们得到1 = B1, 因此，总电压为 V（d = 0） = 2A1.

因此，对于开路线路，反射电压等于输出端的入射电压，此时的总电压是入射电压的两倍。同样，我们可以使用等式 3 和 4 来求任意负载阻抗 Z 的反射波与入射波之比L.该比率是一个重要的参数，称为 反射系数，我们很快就会介绍。 

输入阻抗和反射系数公式

使用公式1和2，我们可以找到沿线不同点的电压与电流之比（即传输线的输入阻抗）。这就引出了公式5。

等式 5.

注意线路负载端的线路阻抗（d = 0）等于负载阻抗ZL，我们得到：

使用一点代数，上面的方程给出了反射电压波与入射电压波的比值（B1/一个1），定义为公式6中Γ的反射系数。

等式 6.

上面的讨论表明，对于终止的线路，入射波和反射波之间存在明确的关系。请注意，一般来说，反射系数是一个复数，Γ的幅度和相位信息都很重要。为 电力传输，我们尝试获得匹配的负载 （ZL = Z0），导致 Γ = 0。在这种情况下，施加到输入端的波被负载完全吸收，不会发生反射。在这里考虑另外两种特殊情况是有益的： 开路线路和短路 我们很快就会进入的行。

虽然波传播和反射的概念基本上并不复杂，但一开始可能会令人困惑。可视化波如何传播和反射不连续性的最佳方法是绘制我们上面开发的方程。此外，值得一提的是，有许多在线模拟器可以帮助您更好地了解波传播概念。

短路线路

接下来，让我们来看看短路线。发生短路时，总输出电压应始终为零。此外，从公式6中，我们有Γ = -1。入射电压波由下式给出：

图 2 中的顶部曲线提供了该方程在三个不同时间点 t 处的曲线1， t2和 t3, 其中 t1 < t2 < t3.

图2. 短路的正向电压（顶部）、反向电压（中间）和总电压（底部）的示例曲线。

上述曲线细分其中：

输电线路长度0.2米

负载在 d = 0

β为50弧度/米

信号频率为 2 GHz

请注意入射波如何随着时间的流逝逐渐向负载移动（d = 0）。上图中的中间曲线显示了远离负载的反射电压。反射电压方程为：

其中Γ设置为 -1 以考虑短路。总电压是入射电压和反射电压之和，在下部曲线中给出。正向电压在沿线路的所有点（包括线路的负载端）在其最小值和最大值之间波动。但是，反射电压取与入射电压相反的值，因此负载端的总电压始终为零。

总电压波有一个有趣的特征：它静止不动，与其组成波不同，总电压波不向任一方向传播。例如，最大和零电压点不随时间移动。为了更好地说明这一点，图3绘制了36个不同时间点的总电压。

图3. 显示 36 个不同时间点的总电压的图。

可以看出，过零点（节点）和最大振幅的位置（反节点）是沿线的一些固定位置。由于波不向任一方向传播，因此称为驻波。 

开路线路

对于开路线路（ZL = ∞），公式 6 得到 Γ = 1。在这种情况下，反射电压的幅度和相位等于入射电压。图4中的顶部和中间曲线分别显示了三个不同时间点开路线路上的入射和反射电压波。

图4. 显示开路的正向电压（顶部）、反向电压（中间）和总电压（底部）的示例图。

请注意，入射波和反射波在 d = 0 时具有相同的值。因此，总电压（底部曲线）是负载端入射电压的两倍。由于Γ = 1，反射电流Ir 也具有与入射电流I相同的幅度和相位我.但是，总电流为 I我 -我r 负载端 = 0，这并不奇怪，因为负载是开路的。

此外，我们可以再次观察到总电压是驻波。图5对此进行了最好的说明，它绘制了36个不同时间点的总电压波。

图5. 示例图显示了开路 36 个不同时间点的总电压波。

计算端接线路的任意负载

接下来，让我们使用我们的方程来检查 Γ = 0.5 的终止线。任意时间的入射和反射电压波如图6所示。

图6. 显示入射和反射电压波的图。

这两个波浪以相反的方向传播。您应该能够想象，在沿线的某个时间点和某个特定位置，两个波的峰值将重合，从而产生总电压波的最大值。如图 7 所示。

图7. 示例图显示了入射波和反射波峰值重合时总电压波的最大值。

此外，在其他某个时间点，沿线的特定位置将“看到”较浪的峰值和较小波浪的最小值，如图 8 所示。

图8. 显示入射波和反射波具有相反的波峰和谷的总电压波的示例图。 

在这些点上，总电压波的幅度最小。在我们的示例中，正向波和反射波的振幅分别为 1 和 0.5。因此，总电压波的最小振幅为1 - 0.5 = 0.5。为了更好地观察沿线不同点的电压幅度，图9绘制了36个不同实例的总电压波。

图9. 示例图显示了 36 个不同实例的总电压波。

该图可让您了解线上不同点的波动幅度。请注意，虽然d = 0.1881 m等点在±1.5 V之间波动，但还有其他点。例如，d = 0.1568 m，其振幅要小得多，并且在±0.5 V之间波动。

你可能会问的一个问题是，总波是行进还是静止不动？图10显示了某些连续时间点的总电压曲线数量较少（t1 < 吨2 < ...< 吨6） 来回答这个问题。   

图 10. 显示连续时间点总电压曲线较少的示例。 

该图显示，随着时间的流逝，波向负载传播。请注意，虽然入射波和反射波的幅度是恒定的，但组合电压的幅度会随着时间的推移而上升和下降。

入射波、反射波和驻波摘要

让我们总结一下我们的观察结果： 

在匹配负载下，入射波向负载传播，并且没有反射。在这种情况下，波沿线具有恒定的振幅。

对于短路和开路线路，入射波完全反射（Γ = -1或1）。在这种情况下，组合电压不沿任一方向传播，称为驻波。

对于驻波，我们在沿线的固定位置有节点和反节点。节点根本不波动，而反节点以最大振幅波动。

对于上述三种情况以外的载荷，我们有一个随时间上升和下降的行波（尽管它实际上是一个行波，但我们可能偶尔会轻描淡写地将这个波称为驻波）。在这种情况下，我们没有任何节点，但某些点的振幅比其他点小。这种情况介于无反射的理想情况 （Γ = 0） 和全反射的最坏情况 （Γ = ±1） 之间。

因此，考虑到所有这些，我们必须知道我们的传输线在这个频谱的哪个点上运行。参数 驻波比（电压驻波比），定义为波的最大振幅与其最小振幅的比值，使我们能够表征我们离驻波有多近。当有全反射时，驻波比是无限的;对于匹配的负载，驻波比为 1。

至于其他情况，VSWR介于这两个极值之间。VSWR为我们提供了一种表征反射量的替代方法。