电子说
01
FFT简介
快速傅里叶变换 (Fast Fourier Transform，FFT), 即利用计算机计算离散傅里叶变换（DFT)的高效、快速计算方法的统称，简称FFT。DFT是实现了从频域（频域分析往往比时域分析更优越）对信号与系统进行分析。然而，随着序列长度的增加，计算量也显著增加，对于计算机而言，处理时间就越长，消耗的资源也就越多。
忘了什么是傅里叶变换的同学，赶紧拿出《信号与系统》翻一下。实在没书，找度娘。对于连续时间信号f(t)，定义式如下：
傅里叶变换：
傅里叶逆变换：
信号处理领域大名鼎鼎的傅里叶变换，正式由傅里叶提出的，不得不说，实在太伟大了，顶礼膜拜。
在信号处理中，由于计算机通常只能处理数字信号，因此通过对连续信号进行采样离散化，进而有了离散傅里叶变换。
话不多说，直入主题，首先把DFT公式搬出来：
原信号x(t)的采样信号x[n]也可以用X[K]来表示：
1965年，库利和图基提出了快速傅里叶变换(FFT)算法，采用这种算法能使计算机计算DFT所需要的乘法次数大为减少，特别是被变换的抽样点数N越多，FFT算法计算量的节省就越显著。
常用计算方法：
时间抽取算法：令序列的长度为N（2的幂），可以将时域序列x(n)分解为两部分，一是偶数部分x(2n)，另一部分是计数部分x(2n+1)，于是信号序列x(n)的离散傅里叶变换可以用两个N/2抽样点的离散傅里叶变换来辨识核计算。
频率抽取算法：按照频率吧抽取的FFT算法是将频域信号序列X(k)分解为奇偶两部分，但算法仍然是由时域信号序列开始逐级计算，同样把N点分成N/2点计算FFT。
02
FFT原理
FFT是DFT的快速算法，可以将一个信号从时域变换到频域。很多时候信号在时域很难进行信号特征分析，变换到频域后，就很容易看出信号的频率、功率、相位等特征信息。更多详细的解释，可移步看这里 深入浅出的讲解傅里叶变换（真正的通俗易懂） 或者在CSDN中阅读 深入浅出解释FFT系列（非公众号文章，超链接失败，抱歉，可去CSDN看原文博客） ，讲得比较清楚透彻，不愧是10年码龄的巨佬。在这里我就不再赘述了。
03
FFT IP Core使用
以Xilinx Vivado设计套件中提供的FFT IP为例，简要说明如何进行FFT IP配置和设计。
FFT Core用于计算N点的DFT或IDFT，N=2m，m=3~16。对于计算FFT，有三种算术选项用于计算FFT：
对于N点大小，可对正向/逆向变换、缩放表循环前缀进行配置。
提供四种可选架构：
FFT IP Core的端口如图1所示，对端口的描述，参考产品指南PG-109-XFFT.pdf。
图1 FFT端口
举个栗子：单通道，512点，Radix-2,Burst I/O，定点数，缩放，取整模式Truncation，输入数据位宽16bit，相位因子位宽16，自然序输出，无循环前缀。
在Vivado中创建工程后，在工程管理器下的IP Catalog中选择并配置FFT IP，在IP配置向导的指引下，依次进行相关参数的配置，如图2所示。配置通道数，变换长度，实现架构，数据格式，缩放，取整模式，数据呼出顺序，是否插入循环前缀（CP）等。
图2 FFT IP配置
在向导视图左侧，可查看IP端口框图，实现详情以及时延信息，如图3所示。这里需要注意输入输出数据的格式以及配置通道数据的格式。
图3 查看IP实现信息
配置完成后，输出生成定制FFT IP，最后再将其实例化到工程模块中。
该IP的端口采用了标准的AXI-Stream协议，数据传输基本握手，如图4所示。
图4 AXI-Stream信道数据传输
所有的TDATA和TUSER字段被打包成小端格式，也就是一个子字段的第0位与TDATA或TUSER的第0位对齐。
字段不包括在TDATA或TUSER中，除非以这种方式配置了核它需要字段出现。例如，如果核心配置为有一个固定的点大小，没有位分配给指定点大小的NFFT字段。
所有的TDATA和TUSER矢量都是8bit的整数倍。
配置通道端口信号如表1所示。
表1 配置通道端口信号
配置通道（s_axis_config）接口是AXI通道，TDATA字段接口定义如下表2所示，所有需要paded的字段如果未达到8bit边界，则需要扩展到8bit边界。扩展的bit可以未任意值，设计为常量值可节省器件资源。
表2 TDATA字段接口定义
TDATA数据格式如图5所示。
图5 config_tdata数据据格式
其中，NFFT设置情况，如表3所示。需要注意的是，如果选项runtime configurable transform length被选后，变换点大小才可以在配置通道的NFFT字段进行设置。
表3 NFFT设置
FWD_INV=1时，正向变换；FWD_INV=0时，逆向变换。
对于FFT/IFFT各级缩放，在不同的实现架构中，缩放因子的设置有所不同。可参考表2 或者产品指南：PG109-xfft.pdf文档ch.4操作理论的Run Time Transform Configuration部分。
将输出结果的尾部复制到头部，输出顺序要选择自然序。插入循环前缀，可逐帧设置，不用打断帧处理进程。
在FPGA处理过程中，常常要对浮点数进行定点化处理。Matlab中提供了一个非常方便的定点化函数fi。
fi(data,s,w,f) 各参数的定义：
s:signed or unsigned 标志；
signed: 包含符号位；
f:定点小数精度。
例如：在命令行输入fi(pi,1,16,13),回车，如图6所示。
图6 浮点数定点
查看定点后的数据， 命令行输入ans.hex，显示十六进制数6488，如图7所示。
图7 定点16进制数据
命令行输入ans.dec，显示十进制数，如图8所示。
图8 定点10进制数据
在FPGA处理定点乘法，可用乘法器IP—Multiplier，如图9所示。
图9 乘法器IP
04
FFT模块设计demo
以调用FFT，并通过ROM预存所需数据进行一个简单的demo设计。
利用FFT IP，搭建工程。分别使用两个ROM存储DMRS0的I、Q两路数据，外部主机断言m_data_tready拉高时，准备开始从ROM读取数据，同时配置FFT。IFFT计算输出通过乘以一个系数，使其幅度值接近于1。设计框图如图10所示。
图10 设计框图
以DMRS0信号5M带宽300点（中间补零，至512点）作IFFT为例，创建工程，编写RTL代码。针对配置通道的数据配置（如SCALE_SCH、FWD/INV、CP_LEN、NFFT），假设基于Radix-2架构作IFFT，不加循环前缀，不更改NFFT点数，配置情况如下。
s_axis_config_tdata = 23'b0000_0000_0000_0000_0000_0000;
注意，高MSB五位做了填充，使得TDATA的位宽是8的整数倍。
FPGA仿真结果如图11所示。
图11 FPGA工程仿真
MATLAB进行IFFT变换，并进行适当的缩放，同时将FPGA仿真的结果导入，计算各自的幅度，并绘于同一图中，如图12所示。
图12 幅度值对比
计算各自的相位角弧度，如图13所示。
图13 相位弧度对比
通过对比分析可知，MATLAB仿真与FPGA实现结果基本一致。
在LTE、5G等无线通信中，IFFT和FFT变换是一个绕不过的话题。即便5G在探索非正交多址接入技术（NOMA）,因主动引入干扰，接收机设计复杂度急剧上升，能否被采用不得而知。
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