浅谈卷积运算在数字信号处理的应用与优势

在数字信号处理当中，常用到了运算内容有：卷积运算、差分方程计算、功率谱密度计算、复频率变换及模数和数值转换、矩阵运算、对数指数运算、相关系数运算、离散傅里叶变换计算等运算内容。事实上，很多的数字信号处理当中的问题，都可以使用这些或还有其他相关的运算，通过适当进行组合来实现。

在数字信号处理当中，常常会使用当卷积运算，卷积和乘积运算在频域和时域是一一对应的，两个信号在时域的卷积可以转化为求两者在频域的乘积后再反变换，同理在频域的卷积等时域的乘积。而信号的频域求解当中，卷积运算具有快速傅里叶FFT算法的特点，特别简单。

卷积运算是求LTI系统冲击响应的基本方法，在泛函分析中，卷积（卷积）、旋积或摺积（英语：Convolution）是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表徵函数f 与经过翻转和平移与g 的重叠部分的累积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。

统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。 概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。 声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。 电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。 物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。

卷积是一种线性运算，图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。

关于卷积出现的背景。卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的，脱离这个背景单独谈卷积是没有任何意义的，除了那个所谓褶反公式上的数学意义和积分（或求和，离散情况下）。

信号与线性系统，讨论的就是信号经过一个线性系统以后发生的变化（就是输入 输出 和所经过的所谓系统，这三者之间的数学关系）。所谓线性系统的含义，就是，这个所谓的系统，带来的输出信号与输入信号的数学关系式之间是线性的运算关系。

因此，实际上，都是要根据我们需要待处理的信号形式，来设计所谓的系统传递函数，那么这个系统的传递函数和输入信号，在数学上的形式就是所谓的卷积关系。

卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理 中的卷积定理。利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。